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Cet ouvrage est issu d'un cours en première année à l'Ecole Polytechnique.  Il offre un cours de L3 assez classique (représentations des groupes finis, espaces de Banach, intégrale de Lebesgue, transformée de Fourier, fonctions holomorphes) complété par des rappels de notions vues dans les années antérieures sous une forme pas toujours optimale (structures quotients, algèbre linéaire, topologie etc.), tout en insistant sur l'aspect culturel des mathématiques dans le but de donner une petite idée du fonctionnement interne des mathématiques...

Qui n’a jamais, sur les bancs de l’école, essayé de faire passer un message secret à son voisin de table, espérant ainsi que l’instituteur (ou l’institutrice) ne le comprendrait pas ? Qui n’a jamais été intrigué par les signaux en morse, parlé (ou entendu parler) le Javanais ou lu la célèbre lettre de George Sand à Alfred de Musset ? La cryptographie, c’est l’art de transmettre des messages qui ne seront compréhensibles que pour les personnes concernées par ces informations...

Nous nous intéresserons aux premières théories de la mesure élaborées à la fin du 19e siècle et nous les utiliserons pour distinguer le processus d’abstraction du processus de généralisation.  En effet, nous retrouvons des généralisations dans les versions calculatoires de la mesure proposées par Peano (1887), Jordan (1892) et Lebesgue (1902).  En 1898, Borel présenta une nouvelle façon de définir la mesure : au lieu de la définir par un calcul, la notion doit satisfaire une liste de propriétés.  Cette nouvelle façon de définir une notion implique un changement d’attention de la part de Borel et ce changement lui permettra de « reconstruire » la notion dans le sens où certaines propriétés des versions calculatoires deviennent constitutives de la nouvelle notion.